Задача инициализации и предельный переход в системе нелинейных интегродифференциальных уравнений с быстро изменяющимися ядрами

Аннотация

Рассмотрена проблема предельного перехода в нелинейной сингулярно возмущенной интегродифференциальной системе с быстро убывающим ядром. В отличие от публикаций, посвященных уравнениям с малым параметром при производной и спектром предельного оператора, лежащим строго слева от мнимой оси, в настоящей работе допускаются чисто мнимые точки спектра. В этом случае предельный переход в решении исходной задачи (при стремлении малого параметра к нулю) к решению вырожденной системы в равномерной метрике в общем случае невозможен. Целью является выделение класса начальных данных (класса инициализации), при которых предельный переход в метрике пространства непрерывных функций возможен. При изучении этого вопроса была использована информация о главном члене регуляризованного (по Ломову) асимптотического решения. Однако дифференциальная система, которой удовлетворяют коэффициенты данного решения, является нелинейной, поэтому разрешимость системы в целом на заданном конечном промежутке времени остается под вопросом. В более ранних работах авторов было показано, что указанная дифференциальная система является нормальной формой, т. е. содержит в правой части только нелинейные резонансные мономы, благодаря этому ее порядок может быть понижен. Однако это не снимает проблемы ее разрешимости в целом. Ситуация становится весьма затруднительной при наличии чисто мнимых точек спектра, которые порождают в решении исходной задачи быстро осциллирующие слагаемые, препятствующие предельному переходу в равномерной метрике. Удалось доказать, что подсистема, соответствующая чисто мнимым собственным значениям, будет замкнутой, и выделить класс начальных векторов для исходной задачи, при которых быстро осциллирующие составляющие в решении исчезают и равномерный переход становится возможным.