Некоторые нестандартные задачи трехмерной теории поля

Аннотация

Рассмотрены краевые задачи для системы уравнений Пуассона в трехмерном пространстве, в граничных условиях которых помимо значений функций содержатся и значения градиента, дивергенции и ротора. В основе постановки таких задач лежит тождество, содержащее безусловную связь между граничными значениями любой пары функций и значениями векторов их нормальных производных и роторов. Тождество является следствием известного представления оператора Лапласа в роторно-дивергентной форме. Подобные условия имеют ясный гидродинамический смысл и генерируют соответствующие подпространства пространства Соболева. Кроме того, полученное тождество может рассматриваться как необходимое условие наличия теоремы о гладкости обобщенных или слабых решений рассмотренных задач. Соответствующие краевые задачи корректно разрешимы в слабом смысле, т. е. имеют единственное слабое решение. Приведены конкретные примеры. Для доказательства использован метод Галеркина, базирующийся на равенстве билинейных форм, отвечающих стандартной записи оператора Лапласа и его роторно-дивергентного представления. Именно равенство этих форм определяет различные типы граничных условий, содержащих основные операции теории поля: градиент, дивергенцию и ротор искомого решения. Установлена компактность последовательности приближенных решений и совершен предельный переход. Предложенный подход позволяет сформулировать некоторые нестандартные задачи для системы уравнений Стокса и Навье — Стокса.