Анализ подходов к решению задачи построения математической модели объекта по неточным экспериментальным данным

  • Никита [Nikita] Васильевич [V.] Скибицкий [Skribitsky]
Ключевые слова: модель, неопределённость, прямая и обратная статическая характеристика, регрессионный анализ, интервальный анализ

Аннотация

Проанализированы источники неопределённости и особенности применения различных моделей описания неточных данных, а также подходы к решению задач построения прямой и обратной статических характеристик системы по неточным данным, базирующихся на разных моделях описания неопределённости.

Показано, что применение подхода, наиболее часто используемого на практике, основанного на вероятностной (статистической) модели описания неопределённости, целесообразно лишь в случае, когда неопределённость связана только со случайной вариабельностью. Описание других источников неопределённости в рамках данной модели затруднительно. В этом случае при описании помехи приоритетным является нормальное распределение, на постулировании которого основаны последующие выводы, а для описания механизма её действия чаще всего используют модель аддитивной помехи на выходе с нулевым значением ошибки на входе системы. В предположении выполнения указанных предпосылок для решения задачи построения прямой и обратной статических характеристик взят аппарат регрессионного анализа. Все оптимальные свойства получаемых в этом случае оценок параметров справедливы только для прямой модели, при выполнении следующей достаточно жёсткой системы предположений, которые часто нарушаются на практике в силу того, что

  • реальные законы распределения ошибок разнообразны и часто далеки от нормального;
  • для установления действительного вида функции распределения необходимо проведение испытаний, число которых должно быть тем больше, чем большим выбирается значение доверительной вероятности;
  • ошибки измерений входных величин существенны, что приводит к смещённым оценкам параметров модели, а ошибки измерений выхода содержат как случайные, так и систематические составляющие, вследствие чего метод наименьших квадратов не является оптимальным в статистическом смысле;
  • cлучайные ошибки могут быть зависимыми, а их корреляционная матрица неизвестной и часто, хотя и необоснованно, используемые в этом случае обычные оценки наименьших квадратов не будут обеспечивать наименьшие дисперсии;
  • помеха измерения и/или установки факторов может описываться не только аддитивной моделью, используемой в большинстве случаев на практике, но и мультипликативной или аддитивно-мультипликативной.

В рамках регрессионного анализа нет теоретически обоснованного метода построения обратной характеристики и её доверительного интервала, поэтому применение статистического подхода к решению задачи построения обратных характеристик приводит к серьезным трудностям, а формальное применение регрессионного анализа даёт результаты, далекие от истинных:

  • разделение переменных на точно измеряемые входные и измеряемые с ошибками выходные нарушается при построении обратных характеристик;
  • аналитическое определение доверительного интервала для предсказанного значения входной переменной теоретически необосновано и представляется крайне затруднительным;
  • существенным недостатком доверительного интервала значения ошибки является невозможность суммирования её составляющих, так как доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов слагаемых;
  • из-за существенной нелинейности обратного преобразования модель ошибки является очень сложной и не может быть описана в терминах абсолютной или относительной ошибок.

С учётом этого наиболее полной характеристикой точности решения задачи построения обратной функции представляется интервал её неопределённости, а перспективным является применение подхода, основанного на использовании интервальной модели, позволяющей описать широкий класс неопределённых, вариабельных и неточных исходных данных.

Сведения об авторе

Никита [Nikita] Васильевич [V.] Скибицкий [Skribitsky]

доктор технических наук, профессор кафедры управления и информатики НИУ «МЭИ», e-mail: SkibitskyNV@mpei.ru

Литература

1. Семенов Л.А., Сирая Т.Н. Методы построения градуировочных характеристик средств измерений. М.: Изд-во стандартов, 1986.
2. Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Экзамен, 2004.
3. Сирая Т.Н. Методы обработки данных при измерениях и метрологические модели // Измерительная техника. 2018. № 1. С. 9—14.
4. Лячнев В.В., Сирая Т.Н., Довбета Л.И. Метрологические основы теории измерительных процедур. СПб.: Элмор, 2011.
5. Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд-во МГУ, 2011.
6. Вощинин А.П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2002. № 1. С. 118—126.
7. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.
8. Бородюк В.П., Лецкий Э.К. Статистическое описание промышленных объектов. М.: Энергия, 1971.
9. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1980.
10. Авдеев Б.Я. Планирование измерительного эксперимента. СПб.: Изд-во СПбГЭЕУ «ЛЭТИ», 2005.
11. Грешилов А.А., Стакун В.А., Стакун А.А. Статистические задачи принятия решений с элементами конфлюентного анализа. М.: Радио и связь, 1998.
12. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Интервальный подход к выражению неопределенности измерений и калибровке цифровых измерительных систем // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2007. № 11. С. 66—71.
13. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Интервальный подход к анализу однофакторных мультисенсорных систем // Датчики и системы. 2006. № 4. С. 2—7.
14. Алексеева И.У. Теоретическое и экспериментальное исследование законов распределения погрешностей, их классификация и методы оценки их параметров: автореферат дис. … канд. техн. наук. Л.: Изд-во ЛПИ, 1975.
15. Введение к «Руководству по выражению неопределенности измерения и сопутствующим документам. Оценивание данных измерений» / под ред. В.А. Слаева, А.Г. Чуновкиной. СПб.: Профессионал, 2011.
16. Горяинов С.В. Разработка статистических методов построения градуировочных характеристик мультисенсорных систем: автореферат дис. … канд. техн. наук. М.: Изд-во МЭИ, 1997.
17. Слаев В.А., Чуновкина А.Г. Неопределенность измерений: пути использования международного документа // Приборы. 2004. № 9. С. 1—6.
18. Оценивание данных измерений — роль неопределенности измерений при оценке соответствия / под ред. В.А. Слаева, А.Г. Чуновкиной. СПб.: Профессионал, 2014.
19. ГОСТ Р 54500.3—2011. Неопределённость измерения. Ч. 3. Руководство по выражению неопределенности измерения.
20. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Интервальный метод калибровки // Датчики и системы. 2000. № 9. С. 52—60.
21. Скибицкий Н.В. Построение прямых и обратных статических характеристик объектов по интервальным данным // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2017. № 1. С. 87—93.
---
Для цитирования: Скибицкий Н.В. Анализ подходов к решению задачи построения математической модели объекта по неточным экспериментальным данным // Вестник МЭИ. 2019. № 3. С. 108—115. DOI: 10.24160/1993-6982-2019-3-108-115.
#
1. Semenov L.A., Siraya T.N. Metody Postroeniya Graduirovochnykh Kharakteristik Sredstv Izmereniy. M.: Izd-vo Standartov, 1986. (in Russian).
2. Orlov A.I. Prikladnaya Statistika. M.: Ekzamen, 2004. (in Russian).
3. Siraya T.N. Metody Obrabotki Dannykh pri Izmereniyakh i Metrologicheskie Modeli. Izmeritel'naya Tekhnika. 2018;1:9—14. (in Russian).
4. Lyachnev V.V., Siraya T.N., Dovbeta L.I. Metrologicheskie Osnovy Teorii Izmeritel'nykh Protsedur. SPb.: Elmor, 2011. (in Russian).
5. Klimov G.P. Teoriya Veroyatnostey i Matematicheskaya Statistika. M.: Izd-vo MGU, 2011. (in Russian).
6. Voshchinin A.P. Interval'nyy Analiz Dannykh: Razvitie i Perspektivy. Zavodskaya Laboratoriya. Diagnostika Materialov. 2002;1:118—126. (in Russian).
7. Zade L.A. Ponyatie Lingvisticheskoy Peremennoy i Ego Primenenie k Prinyatiyu Priblizhennykh Resheniy. M.: Mir, 1976. (in Russian).
8. Borodyuk V.P., Letskiy E.K. Statisticheskoe Opisanie Promyshlennykh Ob′ektov. M.: Energiya, 1971. (in Russian).
9. Nalimov V.V., Golikova T.I. Logicheskie Osnovaniya Planirovaniya Eksperimenta. M.: Metallurgiya, 1980. (in Russian).
10. Avdeev B.Ya. Planirovanie Izmeritel'nogo Eksperimenta. SPb.: Izd-vo SPbGEEU «LETI», 2005. (in Russian).
11. Greshilov A.A., Stakun V.A., Stakun A.A. Statisticheskie Zadachi Prinyatiya Resheniy s Elementami Konflyuentnogo Analiza. M.: Radio i Svyaz', 1998. (in Russian).
12. Voshchinin A.P., Skibitskiy N.V. Interval'nyy Podkhod k Vyrazheniyu Neopredelennosti Izmereniy i Kalibrovke Tsifrovykh Izmeritel'nykh Sistem. Zavodskaya Laboratoriya. Diagnostika Materialov. 2007;11:66—71. (in Russian).
13. Voshchinin A.P., Skibitskiy N.V. Interval'nyy Podkhod k Analizu Odnofaktornykh Mul'tisensornykh Sistem. Datchiki i Sistemy. 2006;4:2—7. (in Russian).
14. Alekseeva I.U. Teoreticheskoe i Eksperimental'noe Issledovanie Zakonov Raspredeleniya Pogreshnostey, ikh Klassifikatsiya i Metody Otsenki ikh Parametrov: Avtoreferat Dis. … Kand. Tekhn. Nauk. L.: Izd-vo LPI, 1975. (in Russian).
15. Vvedenie k «Rukovodstvu po Vyrazheniyu Neopredelennosti Izmereniya i Soputstvuyushchim Dokumentam. Otsenivanie Dannykh Izmereniy». Pod Red. V.A. Slaeva, A.G. Chunovkinoy. SPb.: Professional, 2011. (in Russian).
16. Goryainov S.V. Razrabotka Statisticheskikh Metodov Postroeniya Graduirovochnykh Kharakteristik Mul'tisensornykh Sistem: Avtoreferat Dis. … Kand. Tekhn. Nauk. M.: Izd-vo MEI, 1997. (in Russian).
17. Slaev V.A., Chunovkina A.G. Neopredelennost' Izmereniy: Puti Ispol'zovaniya Mezhdunarodnogo Dokumenta. Pribory. 2004;9:1—6. (in Russian).
18. Otsenivanie Dannykh Izmereniy — Rol' Neopredelennosti Izmereniy Pri Otsenke Sootvetstviya. Pod Red. V.A. Slaeva, A.G. Chunovkinoy. SPb.: Professional, 2014. (in Russian).
19. GOST R 54500.3—2011. Neopredelennost' Izmereniya. Ch. 3. Rukovodstvo po Vyrazheniyu Neopredelennosti Izmereniya.
20. Voshchinin A.P., Skibitskiy N.V. Interval'nyy Metod Kalibrovki. Datchiki i Sistemy. 2000;9:52—60. (in Russian).
21. Skibitskiy N.V. Postroenie Pryamykh i Obratnykh Staticheskikh Kharakteristik Ob′ektov po Interval'nym Dannym. Zavodskaya Laboratoriya. Diagnostika Materialov. 2017;1:87—93. (in Russian).
---
For citation: Skibitskiy N.V. Analysis of Approaches to Constructing a Plant Mathematical Model Based on Inaccurate Experimental Data. Bulletin of MPEI. 2019;3:108—115. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2019-3-108-115.
Опубликован
2018-04-06
Раздел
Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (05.13.0