Предельный переход в интегро-дифференциальных уравнениях с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами

  • Машхура [Mashkhura] Абдухафизовна [A.] Бободжанова [Bobodzhanova]
  • Валерий [Valeriy] Федорович [F.] Сафонов [Safonov]
  • Олим [Olim] Джураевич [D.] Туйчиев [Tuychiev]
Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, регуляризация интеграла

Аннотация

Рассмотрено интегро-дифференциальное уравнение с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами. Изучен предельный переход ее решения при стремлении малого параметра к нулю. Аналогичная задача анализировалась ранее для одного быстро изменяющегося ядра. В случае нескольких быстро изменяющихся ядер исследование сопряжено с довольно тонким анализом регуляризованного асимптотического решения, алгоритм построения которого ранее не разрабатывался. Непосредственное обобщение идей работы с одним быстро изменяющимся ядром малоэффективно, так как наличие нескольких спектральных значений ядра интегрального оператора существенно изменяет алгоритм метода регуляризации С.А. Ломова, делая его менее обозримым. Известно, что при исследовании предельного перехода при стремлении малого параметра к нулю в сингулярно возмущенных задачах обычно строится главный член асимптотики, для вычисления которого в случае интегро-дифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части надо решить первые две итерационные задачи, возникающие в процессе построения асимптотики, при наличии известной правой части третьей итерационной системы. В случае одного быстро изменяющегося ядра построение такого решения не составляет особого труда, поскольку эквивалентная интегро-дифференциальная система имеет порядок, равный двум. В случае нескольких ядер этот порядок больше двух, что заметно усложняет построение решений соответствующих итерационных задач. Основные идеи проводимого обобщения и тонкости, возникающие при разработке соответствующего алгоритма метода регуляризации, полностью просматриваются в случае двух быстро изменяющихся ядер, поэтому в работе представлен именно этот случай.

Показано, что предельное решение существенно зависит от числа спектральных значений интегрального оператора, и точное решение исходной задачи стремится к предельному на всем рассматриваемом отрезке времени, что подтверждает эффект отсутствия в задаче пограничного слоя.

Сведения об авторах

Машхура [Mashkhura] Абдухафизовна [A.] Бободжанова [Bobodzhanova]

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ «МЭИ», e-mail: BobojanovaMA@mpei.ru

Валерий [Valeriy] Федорович [F.] Сафонов [Safonov]

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики НИУ «МЭИ», e-mail: SafonovVF@mpei.ru

Олим [Olim] Джураевич [D.] Туйчиев [Tuychiev]

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики Худжандского государственного университета им. академика Бободжана Гафурова (Таджикистан)

Литература

1. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Асимптотический анализ сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем с нулевым оператором дифференциальной части // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 4. С. 519—536.
2. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Интегральные уравнения Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 8. С. 53—78.
3. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.
4. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во МГУ, 2011.
5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
6. Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений. Фрунзе: Илим, 1972.
7. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 41. № 7. С. 799—851.
8. Бободжанова М.А. Сингулярно возмущенные интегродифференциальные системы с нулевым оператором дифференциальной части // Вестник МЭИ. 2010. № 6. С.63—72.
--
Для цитирования: Бободжанова M.А., Сафонов В.Ф., Туйчиев О.Д. Предельный переход в интегро-дифференциальных уравнениях с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами // Вестник МЭИ. 2019. № 4. С. 135—142. DOI: 10.24160/1993-6982-2019-4-135-142.
#
1. Bobodzhanova M.A., Safonov V.F. Asimptoticheskiy Analiz Singulyarno Vozmushchennykh Integrodifferentsial'nykh Sistem s Nulevym Operatorom Differentsial'noy Chasti. Differentsial'nye Uravneniya. 2011;47;4:519—536. (in Russian).
2. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Integral'nye Uravneniya Vol'terra s Bystro Izmenyayushchimisya Yadrami i Ikh Asimptoticheskoe Integrirovanie. Matematicheskiy Sbornik. 2001;192;8:53—78. (in Russian).
3. Lomov S.A. Vvedenie v Obshchuyu Teoriyu Singulyarnykh Vozmushcheniy. M.: Nauka, 1981. (in Russian).
4. Lomov S.A., Lomov I.S. Osnovy Matematicheskoy Teorii Pogranichnogo Sloya. M.: Izd-vo MGU, 2011. (in Russian).
5. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie Razlozheniya Resheniy Singulyarno Vozmushchennykh Uravneniy. M.: Nauka, 1973. (in Russian).
6. Imanaliev M.I. Asimptoticheskie Metody v Teorii Singulyarno Vozmushchennykh Integrodifferentsial'nykh Uravneniy. Frunze: Ilim, 1972. (in Russian).
7. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N. Kontrastnye Struktury v Singulyarno Vozmushchennykh Zadachakh. Zhurnal Vychislitel'noy Matematiki i Matematicheskoy Fiziki. 2011;41;7:799—851. (in Russian).
8. Bobodzhanova M.A. Singulyarno Vozmushchennye Integrodifferentsial'nye Sistemy s Nulevym Operatorom Differentsial'noy Chasti. Vestnik MEI. 2010;6: 63—72. (in Russian).
--
For citation: Bobodzhanova M.A., Safonov V.F., Tuychiev O.D. The Limiting Transition in Integro-Differential Equations Containing a Null Operator in the Differential Part and Several Rapidly Varying Kernels. Bulletin of MPEI. 2019;4:135—142. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2019-4-135-142.
Опубликован
2018-07-25
Раздел
Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (01.01.02)