О решении начально-краевых задач для параболического уравнения в классах Дини

  • Ирина [Irina] Владимировна [V.] Женякова [Zhenyakova]
  • Марина [Marina] Федоровна [F.] Черепова [Cherepova]
Ключевые слова: параболическое уравнение, начально-краевые задачи, классическое решение, метод потенциалов, модуль непрерывности

Аннотация

Метод потенциалов — один из классических методов решения начально-краевых задач для параболических уравнений и систем. Его основу составляет исследование гладкости параболических потенциалов в различных функциональных пространствах, а также изучение разрешимости соответствующих интегральных уравнений и систем, к которым сводятся поставленные задачи. Он позволяет находить конструктивный вид решений начально-краевых задач и непосредственно исследовать гладкость решений.

Настоящая работа продолжает серию работ по построению теории разрешимости параболических начально-краевых задач в областях с негладкими по временной переменной боковыми границами.

Рассмотрены первая и вторая начально-краевые задачи с нулевым начальным условием для одномерного по пространственной переменной равномерно параболического уравнения. Предполагается, что коэффициенты уравнения ограничены и равномерно непрерывны с модулем непрерывности, удовлетворяющим дважды условию Дини. Особенность работы состоит в том, что правая часть уравнения может расти к бесконечности определенным образом при приближении к прямой задания начальных данных. Установлена разрешимость (в классическом смысле) данных задач в полуограниченной криволинейной области на плоскости с негладкой боковой границей из класса Дини—Гёльдера, допускающей, в частности, «клювы». Решение построено в виде суммы плоского параболического потенциала и потенциала простого слоя, ядром которых является фундаментальное решение уравнения. Исследована гладкость решения указанных задач в классах Дини—Гёльдера и получены соответствующие оценки корректности, характеризующие поведение решений и их пространственной производной первого порядка в замыкании области. Полученные результаты можно использовать для изучения процессов тепло- и массопереноса.

В качестве доказательства исследована гладкость в пространстве Дини—Гёльдера плоского параболического потенциала с неограниченной плотностью класса Дини в криволинейной области с негладкой боковой границей. Полученный результат может быть использован при решении других начально-краевых задач для неоднородного параболических уравнения.

Сведения об авторах

Ирина [Irina] Владимировна [V.] Женякова [Zhenyakova]

аспирантка кафедры математического и компьютерного моделирования НИУ «МЭИ», e-mail: ZheniakovaIV@mpei.ru

Марина [Marina] Федоровна [F.] Черепова [Cherepova]

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического и компьютерного моделирования НИУ «МЭИ», e-mail: Сherepovamf@mpei.ru

Литература

1. Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного параболического уравнения второго порядка // Сибирский математический журнал. 1974. Т. 15(4). С. 806—834.
2. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet Problem for Parabolic Systems with Dini Continuous Coefficients // Applicable Analysis. 2021. V. 100(13). Pp. 2900—2910.
3. Зейнеддин М. О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. М.: Государственный ун-т им. М.В. Ломоносова, 1992.
4. Черепова М.Ф. Об оценках параболических потенциалов // Вестник МЭИ. 2000. № 6. С. 77—88.
5. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.
6. Бадерко Е.А. О потенциалах для 2p-параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19(1). С. 9—18.
7. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Смешанная задача для параболической системы на плоскости и граничные интегральные уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2018. Т. 64(1). С. 20—36.
8. Zhenyakova I.V., Cherepova M.F. Regularity of Solution to the Cauchy Problem for Parabolic Equation in the Dini Space // J. Mathematical Sci. 2021. V. 259(2). Pp. 172—186.
9. Камынин Л.И. О единственности решения первой краевой задачи в неограниченной области для параболического уравнения второго порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24(9). С. 1331—1345.
10. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка в классах Дини // Деп. в ВИНИТИ РАН 16.04.1992. № 1294-В92.
11. Камынин Л.И. Теорема с косой производной для равномерно параболического уравнения 2-го порядка // Сибирский математический журнал. 1989. Т. 30(1). С. 114—120
---
Для цитирования: Женякова И.В., Черепова М.Ф. О решении начально-краевых задач для параболического уравнения в классах Дини // Вестник МЭИ. 2022. № 5. С. 145—149. DOI: 10.24160/1993-6982-2022-5-145-149
---
Работа выполнена при поддержке: Министерства науки и высшего образования РФ (проект № FSWF-2020-0022)
#
1. Kamynin L.I. O Reshenii Metodom Potentsialov Osnovnykh Kraevykh Zadach dlya Odnomernogo Parabolicheskogo Uravneniya Vtorogo Poryadka. Sibirskiy Matematicheskiy Zhurnal. 1974;15(4):806—834. (in Russian).
2. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet Problem for Parabolic Systems with Dini Continuous Coefficients. Applicable Analysis. 2021;100(13):2900—2910.
3. Zeyneddin M. O Potentsiale Prostogo Sloya dlya Parabolicheskoy Sistemy v Klassakh Dini: Avtoref. Dis. … Kand. Fiz.-mat. Nauk. M.: Gosudarstvennyy Un-t Im. M.V. Lomonosova, 1992. (in Russian).
4. Cherepova M.F. Ob Otsenkakh Parabolicheskikh Potentsialov. Vestnik MEI. 2000;6:77—88. (in Russian).
5. Dzyadyk V.K. Vvedenie v Teoriyu Ravnomernogo Priblizheniya Funktsiy Polinomami. M.: Nauka, 1977. (in Russian).
6. Baderko E.A. O Potentsialakh dlya 2p-parabolicheskikh Uravneniy. Differentsial'nye Uravneniya. 1983;19(1):9—18. (in Russian).
7. Baderko E.A., Cherepova M.F. Smeshannaya Zadacha dlya Parabolicheskoy Sistemy na Ploskosti i Granichnye Integral'nye Uravneniya. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2018;64(1):20—36. (in Russian).
8. Zhenyakova I.V., Cherepova M.F. Regularity of Solution to the Cauchy Problem for Parabolic Equation in the Dini Space. J. Mathematical Sci. 2021;259(2):172—186.
9. Kamynin L.I. O Edinstvennosti Resheniya Pervoy Kraevoy Zadachi v Neogranichennoy Oblasti dlya Parabolicheskogo Uravneniya Vtorogo Poryadka. Zhurnal Vychislitel'noy Matematiki i Matematicheskoy Fiziki. 1984;24(9):1331—1345. (in Russian).
10. Zeyneddin M. Gladkost' Potentsiala Prostogo Sloya dlya Parabolicheskoy Sistemy Vtorogo Poryadka v Klassakh Dini. Dep. v VINITI RAN 16.04.1992. № 1294-V92. (in Russian).
11. Kamynin L.I. Teorema s Kosoy Proizvodnoy dlya Ravnomerno Parabolicheskogo Uravneniya 2-go Poryadka. Sibirskiy Matematicheskiy Zhurnal. 1989;30(1):114—120. (in Russian)
---
The work is executed at support: Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Project No. FSWF-2020-0022)
For citation: Zhenyakova I.V., Cherepova M.F. On Solving Initial Boundary Value Problems for a Parabolic Equation in Dini Classes. Bulletin of MPEI. 2022;5:145—149. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2022-5-145-149
Опубликован
2022-04-01
Раздел
Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (1.1.2)